Sec.6.5 - 電影院要坐哪?

Applied Project in Sec.6.5, Calculus by Stewart
English version Where to Sit at the Movies?

有家電影院的螢幕高10米且離地3公尺，第一排的位子距離螢幕3公尺且每排間隔1公尺，座位區的地板以與水平20度夾角向上傾斜，而你的座位在斜坡上的距離是 $x$。電影院有21排位子，因此 $0 \leq x \leq 20$。假設你認為最好的位子是眼睛與螢幕上下緣連線的夾角 $\theta$ 為最大值時，同時假設你的眼睛距離地面1.2公尺。

問題 1:

試證明: $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{a^2+b^2-100}{2ab}\right)$, 其中 $$ a^2 = (3+x\cos{\alpha})^2+(11.8-x\sin{\alpha})^2 $$ 並且 $$ b^2 = (3+x\cos{\alpha})^2+(x\sin{\alpha} - 1.8)^2 $$

問題 2:

利用 $\theta$ 與 $x$ 的函數圖形找出 $\theta$ 的最大值。你該坐在哪一排? 你在那一排的視角 $\theta$ 是幾度?

回答:

$\theta$ 的最大值為 $0.943356$，你應該坐在第3排的位置。

問題 3:

利用 computer algebra system 對 $\theta$ 微分，並嘗試找出 $\frac{d\theta}{dx} = 0$ 的解。答案是否和第二小題的答案吻合?

Answer:

根據 $y = \frac{d\theta}{dx}$ 的圖形

我們發現在 $x\approx 2.84556$ 時有根。

問題 4:

Use the graph of $\theta$ to estimate the average value of $\theta$ on the interval $0 \leq x \leq 20$. Then use your CAS to compute the average value. Compare with the maximum and minimum values of $\theta$.

利用 $\theta$ 的圖形找出$\theta$在$0 \leq x \leq 20$區間的平均值。利用CAS計算$\theta$的平均值並與$\theta$的最大值與最小值比較。

Answer:

平均值:

$$ avg = \frac{1}{20}\int_{0}^{20} \theta(x) dx \approx 0.71941 $$

臨界點(critical point)有三個位在 $x=0$, 2.84556 以及 20。最大值約為 0.94336，最小值約為 0.45594。