Sec.5.2 - 面積函數

Discovery Project in Sec.5.2, Calculus by Stewart
英文版請見 Area functions

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Question 1(a):

畫出 $y = 2t+1$ 且用幾何方法找出在此線下方、$t$軸上方、與$t＝1$和$ｔ＝３$兩條垂直線所圍出的面積.

Answer:

令 $f(x)=y=2t+1$, 則 $f(1)=3$ 且 $f(3)=7$. 所以其面積為$\frac{1}{2}(3+7)(3-1) = 10$

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Question 1(b):

如果 $x > 1$, 令 $A(x)$ 是由 $y = 2t + 1$、$t$軸與 $t =1$ 和 $t = x$ 所圍出的面積 。畫出這個區域並用幾何方法表達 $A(x)$.

Answer:

$f(1)=3$ and $f(x)=2x+1$.

Area$= A(x) = \frac{1}{2}(2x+1+3)(x-1) = x^2 +x -2 $

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Question 1(c):

將 $A(x)$ 微分，你注意到了什麼？

Answer:

因為 $A(x) = x^2+x-2$, 所以 $A’(x) = 2x+1$. 我們可以得知 $A’(x)$ 和 $f(x) = y = 2t+1$ 形式相同.

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Question 2(a):

如果 $x \geq -1$ ， 令 $$ A(x) = \int_{-1}^{x} (1+t^2)dt $$ $A(x)$ 代表所圍成的面積， 畫出此區域

Answer:

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Question 2(b):

用練習題 5.2.28的結果來找出一種方法表示 $A(x)$.

Answer:

$$ A(x) = \int_{-1}^{x} (1+t^2)dt =\frac{t^3-(-1)^3}{3}+x+1 $$

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Question 2(c):

找出 $A'(x)$ ，你察覺到了什麼？

Answer:

由 $A’(x) = 1+t^2$ ，我們可以得知 $A’(x)$ 是所圍成區域的拋物線

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Question 2(d):

如果 $x \geq -1$ 且 h 為極小正實數，則 $A(x+h) - A(x)$ 代表此區域的面積。 敘述且畫出此區域。

Answer:

此區域為梯形， 其底為 $h$ 且其兩條平行線的長度分別為 $A(x+h)$ 和 $A(x)$

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Question 2(e):

畫出一個長方形來估計 (d)部分的區域面積。 藉由比較這兩個區域的面積來顯示 $$ \frac{A(x+h)-A(x)}{h} \approx 1+x^2 $$

Answer:

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Question 2(f):

用 (e)部分來給予 (c)部分的結果直觀的解釋。

Answer:

如我們所見(c)部分的結果和 (e)部份相同 ，而這代表當我們將一個區域劃分為無限個區域時其結果會等同於此函式的微分 。

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Question 3(a):

畫出此方程式 $f(x)=cos(x^2)$ 在[0,2]$ 及 $[-1.25,1.25]​的視窗內

Answer:

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Question 3(b):

如果我們定義 $g$ 為 $$ g(x) = \int_{0}^{x}\cos(t^2) dt $$ 則 $g(x)$ 是 $f$ 函式 從 $0$ 到 $x$ 下的面積 [直到 $f(x)$ 小於 $0$, 當 $g(x)$ 和所圍出的面積不同時] 用 (a)部分來決定當 $g(x)$ 開始減少時的 $x$ 值。[不同於問題2 的積分,，我們不可能得到一個清楚的積分表達式來定義 $g(x)$]

Answer:

由(a)部分，我們可以得到當此線在x軸之下 $g(x)$ 開始減少。因此, $x^2 = \pi \to x\approx1.77245$

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Question 3(c):

用積分計算機來計算 $g(0.2),$ $g(0.4),g(0.6),\cdots,g(1.8),g(2)$. 然後用這些直來畫出 $g$.

Answer:

$g(x)$ 為圖中的藍線

x	g(x)
0.2	0.2
0.4	0.399
0.6	0.5923
0.8	0.7678
1	0.9045
1.2	0.9739
1.4	0.9498
1.6	0.8255
1.8	0.6354
2	0.4615

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Question 3(d):

用(c)部分 $g$ 的圖把$$g’(x)$$作為切線的斜率來畫出 $g’$ ，且將 $g’$ 和 $f$ 比較

Answer:

我們可以看出 $g’(x)$ 幾乎和 $f$ 相同

x	g’(x)
0.3	0.995
0.5	0.9665
0.7	0.8775
0.9	0.6835
1.1	0.347
1.3	-0.1205
1.5	-0.6215
1.7	-0.9505
1.9	-0.8695

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Question 4:

設想 $f$ 在區間 $[a,b]$ 為連續函數，並將函式 $g$ 由方程式定義為 $$ g(x) = \int_{a}^{x} f(x)dt $$ 由練習 1-3的結論， 推測 $g’(x)$ 的表達式

Answer:

由練習 1-3的結論，我們可以推測 $g’(x) = f(x)$.

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