Sec.4.7 - 飛機和鳥：能量最小化

Applied Project 2 in Sec.4.7, Calculus by Stewart
英文版請見 Planes and birds: Minimizing energy

像雀科這樣的小鳥滑翔時，會在拍打翅膀和保持翅膀折疊之間進行交替。在這裡，我們觀察這種現象並試著找出鳥類拍動翅膀的頻率。而其中的一些原理與固定翼飛機相同，因此我們先依照飛機的速度去考慮其所需的功率及能量。

問題 1: 在速度為 $v$ 時，推動飛機前進所需的功率為 $$ P = Av^3 + \frac{BL^2}{v} $$ 其中 $A$ 和 $B$ 是特定飛機的參數，恆為正，$L$ 是升力，即為支撐飛機重量的向上力。 找出使其所需功率最小的速度。

答案:

$$ v_P = \sqrt[4]{\frac{BL^2}{3A}} $$

問題 2: 在問題 1 中找到的速度可將功率降至最低，但較快的速度可能會消耗較少的燃料。推動飛機每單位距離所需的能量為 $E=P/v$， 在什麼速度下能使能量最小？

答案:

$$ v_E = \sqrt[4]{\frac{BL^2}{A}} $$

問題 3: 最小能量的速度比最小功率的速度快多少？

答案:

$$ \frac{v_E}{v_P} = \sqrt[4]{3} $$

問題 4: 在問題一的方程式應用於鳥類飛行時，我們將 $Av^3$ 分為兩部分：代表鳥類身體的 $A_bv^3$ 和代表翅膀的 $A_wv^3$。設 $x$ 為拍打模式佔飛行時間的部分，如果 $m$ 是鳥的質量且所有升力發生在拍打過程中，那麼升力即為 $mg/x$，因此在拍打過程中所需要的功率是

$$ P_f = (A_b+A_w)v^3 + \frac{B(mg/x)^2}{v} $$

而折起翅膀時的力量為$P_o=A_bv^3$，試找出整個飛行週期的平均功率。

答案:

$$ P_a = x P_f + (1-x) P_o = A_b v^3 + A_w v^3 x + \frac{B m^2 g^2}{xv} $$

問題 5: 在最小平均功率下$x$的值是多少？ 如果鳥飛得慢，你能得出什麼結論？ 如果這隻鳥飛得越來越快，你能得出什麼結論？

答案:

$$ x = \frac{mg}{v^2}\sqrt{\frac{B}{A_w}} $$

可以看出$x$與$v^2$成反比，所以

• 鳥飛的慢,拍翅時間佔總體飛行時間上升
• 鳥飛的快,滑翔時間佔總體飛行時間上升

問題 6: 一個週期的平均能量為 $E_a=P_a/v$. 試問 $x$ 的值為多少可以使$E_a$最小？

答案:

$$ x = \frac{mg}{v^2}\sqrt{\frac{B}{A_w}} $$