Sec.13.4 - 克卜勒定律
Applied Project in Sec.13.4, Calculus by Stewart
英文版請見 Kepler’s Laws
約翰尼斯‧克卜勒在有關不同時間行星位置的大量數據基礎上，提出了以下三個行星運動定律。
克卜勒定律
- 每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。
- 在相等時間內，太陽和行星連線所掃過的面積都是相等的。
- 各個行星繞太陽公轉週期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。
克卜勒制定這些定律是因為它們符合天文數據。 他看不出它們為什麼是對的或它們之間如何相互聯繫。 但是，艾薩克·牛頓爵士在1687年的《數學原理》一書中展示如何從牛頓自己的兩個定律，第二運動定律和萬有引力定律中推論克卜勒的三個定律。 在第13.4節中，我們使用向量函數演算證明了克卜勒第一定律。 在本專題中，我們將指導你了解克卜勒第二定律和第三定律的證明，並探討其中的一些結果。
問題 1： 使用以下步驟來證明克卜勒第二定律，其記號與第13.4節中的第一定律證明相同。特別的是要使用極座標，意即 $\vec{r} = r\cos{\theta} \vec{i} + r\sin{\theta} \vec{j}$.
(a) 證明 $\vec{h}=r^2 \frac{d\theta}{dt} \vec{k}$.
(b) 解釋 $r^2 \frac{d\theta}{dt}=h$.
(c) 若 $A=A(t)$ 是向量 $r=r(t)$ 在時間間隔 $[t_0, t]$ 內掃過的面積, 證明 $$ \frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt} $$
(d) 解釋 $$ \frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}h=c, $$ 其中 $c$ 是常數. 如此證明了克卜勒第二定律，即面積速率為定值。
問題 2： 令 $T$ 是行星繞日之週期，$2a$ 為橢圓軌道長軸，$2b$ 為短軸。
(a)利用上題(d)小題證明 $T =2\pi ab /h$.
(b) 證明 $$ \frac{h^2}{GM}=ed=\frac{b^2}{a} $$
(c) 利用 (a) 和 (b) 小題證明 $$ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3 $$
這證明了克卜勒第三定律. [注意比例常數 $\frac{4\pi^2}{GM}$ 與行星無關.]
問題 3： 地球公轉周期約為 365.25 天.利用克卜勒第三定律找出半長軸. 其中太陽質量為 $M=1.99\times 10^{30}kg$, 重力常數為 $G=6.67\times10^{-11}N-m^2/kg^2$.
解：
$$ a^3=\frac{GMT^2}{4\pi^2} $$
$$ a=(\frac{GMT^2}{4\pi^2})^{\frac{1}{3}}\approx149600000km $$
問題 4： 計算赤道上同步衛星之高度. 其中地球質量為 $5.98\times 10^{24}kg$; 地球半徑為 $6.37\times 10^{6}m$.
解法： $$ h=(\frac{GM_eT^2}{4\pi^2})^{\frac{1}{3}}-R\approx42.25\times10^6-6.37\times10^6=35880km $$