Sec.12.4 - 四面體的幾何學

Discovery Project in Sec.12.4, Calculus by Stewart
英文版請見 The Geometry of a Tetrahedron

如圖所示,四面體是一個擁有4個頂點(P,Q,R,S)和四個三角面的固體。


問題1:

v1,v2,v3v4 為向量, 其長度分別和頂點 P,Q,R,S 所對應到的面的面積相等,並且其方向與對應到的面垂直且向外。證明 v1+v2+v3+v4=0


問題2:

四面體的體積V是其一頂點到其對面的距離乘以該面的面積,再乘以三分之一倍。

(a)找出一個計算四面體體積的公式,以頂點 PQRS 的座標表達。

(b)算出四頂點分別為 P(1,1,1),Q(1,2,3),R(1,1,2),S(3,-1,2) 的四面體的體積。

解答:

(b)

由 (a), a=(0,1,2), b=(0,0,1), c=(2,-2,1).

所以 V=|012001221|6=13


問題3:

假設如圖所示的四面體有一個三直角的頂點S。(這表示三個在S的角是直角。) 令ABC為三個在S相遇的面,且令D為相對的面PQR。用問題1的結論,或其他方法證明 D2=A2+B2+C2 (這是一個三維版本的勾股定理。)


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