Sec.9.3.2 - 上升快，還是下降快?

Applied Project in Sec.9.3, Calculus by Stewart
英文版請見 Which is faster, going up or going down?

假設你在空氣中將一顆球向上拋。你認為球從地表到最高高度和從最高處落回地面哪一個所耗的時間較長? 我們將在這個研究中探討這個問題，但，在我們開始前，先思考整個情況，接著根據你的物理直覺做出猜想。

問題1：

一顆質量為 $m$ 的球以初速為 $v_0$ 的速度鉛直上拋，我們假設作用在球上的力為地球給球的重力和相反於運動方向的空氣阻力 $p|v(t)|$ ， $p$ 為一個正的常數， $v(t)$ 為球在時間為 $t$ 時的速度。綜合正向和負向的力，球所受到的總合力為 $-pv-mg$，(在球上升階段，$v(t)$ 為正而阻力為向下；在球下降時， $v(t)$ 為負且阻力向上)。因此，根據牛頓第二運動定律，我們可得知移動的等式為 $$ mv'=-pv-mg $$

解出此微分方程來說明速度為 $$ v(t)=(v_0+\frac{mg}{p})e^{-pt/m}-\frac{mg}{p} $$

問題 2：

解出直到球落地之前的高度為 $$ y(t)=(v_0+\frac{mg}{p})\frac{m}{p}(1-e^{-pt/m})-\frac{mgt}{p} $$

問題 3：

1. 設 $t_1$ 為球升至最高點所耗的時間。證明 $$ t_1=\frac{m}{p}\ln\left(\frac{mg+pv_0}{mg}\right) $$

2. 一顆質量為1公斤的球，向上初速為 $20$(公尺/秒)。假設空氣阻力為速度的$\frac{1}{10}$。解出此狀況下的 $t_1$。

解答：

2. 當球的質量 $m=1kg$，向上的速度 $v_0=20m/s$，重力 $g=9.8m/s$，空氣阻力 $p=\frac{1}{10}$ $$ t_1=\frac{1}{\frac{1}{10}}ln\left({\frac{1\times9.8+\frac{1}{10}\times20}{1\times9.8}}\right)=‭1.85717‬s $$

問題 4：

當 $t_2$ 為球落回最低點的時間。特別指在問題3中的情況中的球，使用高度函數 $y(t)$ 的圖形計算。哪一個情況的時間較短，上升還是落下?

解答：

因為上升所耗的時間比下降的時間短，因此上升比下降快。

問題 5：

一般來說，找出 $t_2$ 是不容易的。因為要明確地解出等式 $y(t)=0$ 是不可能的。然而，我們可以使用一種非直接的方法來計算到底上升還是下降哪個較快。我們計算 $y(2t_1)$ 是正是負。

1. 證明 $$ y(2t_1)=\frac{m^2g}{p^2}(x-\frac{1}{x}-2\ln{x}) $$ 其中 $x=e^{pt_1/m}$。

2. 再證明當 $x > 1$ 時 $f(x)$ $$ f(x)=x-\frac{1}{x}-2\ln{x} $$ 為遞增函數。

3. 使用這項結果來決定 $y(2t_1)$ 何時為正，何時為負。你能推斷出甚麼結果?上升還是下降比較快?