Sec.8.3 - Complementary Coffee Cups

Applied Project in Sec.8.3, Calculus by Stewart 英文版請見 Complementary Coffee Cups

假設你選擇了兩種形狀的咖啡杯，一種向外彎曲，另一種向內彎曲，你會注意到它們具有相同的高度，並且形狀可以緊密地貼合在一起。你想知道哪個杯子可以容納更多咖啡。當然，你可以將一個杯子裝滿水，然後倒入另一個杯子中來測量容量。但是，作為一名微積分學生，你決定採用一種更數學的方法：忽略手柄，會發現兩個杯子的表面可由旋轉而得，因此可以旋轉體計算咖啡杯之體積。

問題 1:

假定杯子的高度為 $h$，杯子A的形狀可由 $x=f(y)$ 對 $y$ 軸旋轉而得， 而杯子B則是由同一個曲線對 $x=k$ 旋轉而得。 求$k$使得兩個杯子可裝的咖啡量一樣多。

解答:

$$ k=\frac{2\int_0^{h}f(y)dy}{h}. $$

問題 2:

請問問題1的結果與圖中的 $A_1$ and $A_2$ 有何關聯?

解答:

當杯子A之容積與杯子B相等時，$A_1$ 的面積與 $A_2$相等。

問題3:

使用 Pappus’s 定理解釋問題1和問題2之結果。

Pappus’s Theorem

使$R$為一個平面區域，在這個區域外有同一平面上的一條直線$I$。若$R$以$I$為軸旋轉時，產生的旋轉體體積為$R$的面積$A$和區域重心的所經過的路徑長$d$的乘積。