Sec.3.5 - 隱式曲線集合

Applied Project in Sec.3.5, Calculus by Stewart
英文版請見 Families of Implicit Curves

在這個專題中你將會發現，若你改變一個隱式曲線集合中的常數，它的形狀會如何改變，並決定集合中的成員會有哪些共同的特徵。

問題 1.

考慮以下的曲線集合 $$ y^2-2x^2(x+8)=c[(y+1)^2(y+9)-x^2] $$

(a) 藉由畫出$c=0$ 和 $c=2$ 的圖形，找出共有幾個交點。 (你可能需要放大來找出全部的交點。)

(b) 將$c=5$ 和 $c=10$ 加到 (a) 的圖形。你注意到了什麼? $c$ 帶入其他數值結果又會如何?

解答

(a) 共有九個交點。「內部」的四個交點大概位於 $(\pm0.2, -0.9)$ 和 $(\pm0.3,-1.1)$. 「外部」的五個交點大概位於 $(2.0,-8.9)$, $(-2.8,-8.8)$, $(-7.5,-7.7)$, $(-7.8,-4.7)$, 和 $(-8.0,1.5)$。

(b) 觀察$c=5$ 及 $c=10$的圖形，以及對其他的 $c$ 而言，曲線的圖形會改變但交點的位置不變。

問題 2.

(a) 畫出 $$ x^2+y^2+cx^2 y^2=1 $$ 曲線集合中的數個成員，並描述當你改變$c$的值，曲線的圖形出現了什麼改變？

(b) 當$c=-1$會發生什麼事?描述螢幕上發生了什麼事？你能夠代數性的證明它嗎？

(c) 使用隱微分找到 $y'$ 。當$c=-1$,你寫的 $y'$ 與你在 (b) 發現的相符嗎?

解答

(a) 當 $c=0$圖形為單位圓。當 $c$ 增加，圖形看起來越來越像寶石和十字架 (看 $c\geq0$的圖)

當 $-1<c<0$(看圖), $c$ 靠近 $0$ 時有四個部分的雙曲線和一個由 $|x|\leq1$ 和 $|y|\leq1$ 圍出的橢圓。$c$ 越靠近 $-1$, 橢圓和曲線就變得越方正, 靠近 $|x|=1$和$|y|=1$。

當$c=-1$, 我們得到直線 $x=\pm1$ 和 $y=\pm1$。當 $c$ 減少,我們得到四個試管形狀的曲線(看圖) 由 $|x|=1$ 和 $|y|=1$ 圍出，當$|c|$越大，圖形就變得越小。