Sec.15.8 - 滾動競賽

Applied Project in Sec.15.8, Calculus by Stewart
英文版請見 Roller Derby

假設有一實心圓球(如一顆彈珠)、一空心圓球 (如一顆壁球)、一實心圓柱(如一根鋼條)、與一空心圓柱(如一根鉛管)同時由一斜面滾下，何者會最先到達斜面底端?

為了回答此問題，我們考慮一質量為 $m$，半徑為 $r$ 的圓柱體或球體，其對轉軸之轉動慣量為 $I$。設滾落過程的鉛直高度變化為 $h$，故其位能之變化量為 $mgh$。再設其到達斜面底端時速度為 $v$，角速度為 $\omega$，有關係式 $v=\omega r$。其在斜面底部的動能由兩部分組成：移動動能 $\frac{1}{2}mv^2$ 與轉動動能 $\frac{1}{2}I\omega ^2$。假設在滾落過程中的能量損失可忽略，根據能量守恆定律可得： $$ mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega ^2 $$

問題 1

說明 $$ v^2=\frac{2gh}{1+I^*},\quad \text{其中 } I^*=\frac{I}{mr^2} $$

問題 2

$y(t)$ 為時間 $t$ 時的鉛直下落量。而由問題一可知在不論時間 $t$ 為何，皆有關係式： $v^2=2gy/(1+I^*)$。以此結果證明 $y$ 符合以下微分方程： $$ \frac{dy}{dt}= \sqrt{\frac{2g}{1+I^*}}(\sin{\alpha})\sqrt{y} $$ 其中 $\alpha$ 為斜面傾角。

問題 3

藉由求解問題2之方程式，得出自斜面頂端滾至底端之時長 $T$ 為： $$ T=\sqrt{\frac{2h(1+I^*)}{g\sin^2\alpha}} $$ 亦即 $I^*$ 最小之物品將最先滾至底端。

問題 4

證明實心圓柱之 $I^*=1/2$，空心圓柱之 $I^*=1$。

問題 5

計算內徑 $a$，外徑 $r$ 之部分空心球體之 $I^$。答案以 $b$ 表示，其中 $b=a/r$。求當 $a\to 0$ 或當 $a\to r$ 時的 $I^$。

問題 6

說明實心球體的 $I^*=2/5$，而空心球體的 $I^*=2/3$。因此滾至斜面底部的順序為實心球體、實心柱體、空心球體、空心柱體。

解答

實心球體即問題5中 $a \to 0$ 的情況，因此其 $I^*=2/5$

空心球體即問題5中 $a \to r$ 的情況，因此其 $I^*=2/3$

由問題3之結果可知 $I^*$ 最小者最先到達。

因此由於 $2/5 < 1/2 < 2/3 < 1$，可知滾至斜面底部的順序為實心球體、實心柱體、空心球體、空心柱體。