Sec.14.7 - 設計垃圾桶

Applied Project in Sec.14.7, Calculus by Stewart
English version Designing a dumpster

在這個專題中,我們先測量出一個長方體垃圾桶出他的外型和結構。希望設計出一個和它一樣大的容器,並將所需的花費最小化。


問題 1 :

首先,測量垃圾桶的大小,形狀和體積,並畫出垃圾桶的圖案。

答案:

  • x=0.2(m)
  • y=0.25(m)
  • z=0.3(m)

=0.2×0.25×0.3=0.015(m3)


問題 2:

維持垃圾桶大概的形狀,設計出一個體積和原垃圾桶相同而且價格最便宜的容器。使用下列條件進行分析:

  • 前後和側邊都是用12-gauge (厚度 2.657 毫米) 的鋼板做成,價格為每平方公尺$8.00
  • 底部是由10-gauge (厚度 3.416 毫米) 的鋼板製成,價格為每平方公尺 $10.00
  • 蓋子不論大小,每片約 $50.00
  • 焊接的價格為每公尺 $0.60

自行提出其他假設,敘述所設計的容器

答案:

從上面的規定,我們可以算出長方體容器價格的方程式: 8×2×(x+y)×z+10xy+50+0.6×(2x+2y+4z) 其中x是寬,y是長,z是高 ,容器的體積和垃圾桶一樣,為0.015m3 ,因此我們可以得到: xyz=0.015 or z=0.015xy 所以可以將花費的式子 f 改寫成: f=0.24(1x+1y)+10xy+50+1.2x+1.2y+0.036xy 如果f要是最小值,那 fx=fy=0, 其中 fx=0.24x2+10y+1.20.036x2y fy=0.24y2+10x+1.20.036xy2 但是x 和y 一定是正數,所以 x=y。接著,將x=y 帶入偏微分的式子,可以得到 10x4+1.2x30.24x0.036=0,能夠找出長方體容器的長寬高: x==y=0.295 z=0.172  總花費=TotalCost=$53.61473


問題 3:

描述所做的假設或省略會帶來怎麼樣的影響

答案 :

因為容器的長寬高和容器壁的厚度大小差距約100倍,因此我將厚度忽略。


問題 4:

如果我變成這個研究的顧問,我的結論會是?我會建議更換垃圾桶的設計嗎?如果會的話,能夠省下多少錢?

答案:

原本垃圾桶的花費要 53.920.3。


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