Limit of a sequence - Example

Section 11.1, exercise 79: Find the limit of $$ \{\sqrt{2}, \sqrt{2\sqrt{2}}, \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}, \cdots\} $$

Remark: 這個數列也可以用以下表示方式 $$ a_1 = \sqrt{2}, \quad a_{n+1} = \sqrt{2 a_n}, \quad n\in \mathbb{N}, \quad n>1. $$

Method 1

1. 我們首先證明它有極限

   • $a_n<2$ (我們使用數學歸納法)
     1. 已知 $a_1=\sqrt{2}<2$, 成立.
     2. 假設 $a_k<2$, 則 $a_{k+1} = \sqrt{2a_k} < \sqrt{2\times 2} = 2$, 亦成立.
     3. 根據數學歸納法我們得到 $a_n<2$, $\forall n$.
   • $a_n>0$

     這個顯然

   • claim: $a_{n+1}>a_n$

     由於 $0<a_n<2$, 我們可以得到 $a_n(a_n-2)<0$, 移項並兩邊同時開根號得到 $a_{n+1}=\sqrt{2a_n} > a_n$.

   • 因為數列 $\{a_n\}$ 遞增且有界, 根據 Monotone sequence theorem 此數列收斂.

2. 我們接著求此數列極限值

   假設 $\lim_{n\to\infty} a_n=L$, 則 $$ \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{2 a_n}, \quad \Longrightarrow \quad L = \sqrt{2L}. $$ 所以 $L=0$ 或 $L=2$. 我們知道 $a_n$ 為遞增數列所以 $L = 2$.

Method 2

這是看 slader 學會的解法.

1. $a_1=\sqrt{2}=2^{1/2}$
2. $a_2 = \sqrt{2a_1} = 2^{1/2 + 1/4}$
3. $a_3 = \sqrt{2a_2} = 2^{1/2 + 1/4 + 1/8}$

觀察發現此數列收斂到 $$ 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots} = 2^1 = 2. $$