Calculus

Applied Project in Sec.3.5, Calculus by Stewart 英文版請見 Families of Implicit Curves 在這個專題中你將會發現，若你改變一個隱式曲線集合中的常數，它的形狀會如何改變，並決定集合中的成員會有哪些共同

重複擲一枚硬幣, 當出現連續兩次為正時停止, 平均要扔幾次? 第一種做法: 窮舉法 我們以正負號 (+ -) 代表正面反面. 觀察 假設花 $n$ 次才擲到連續兩次為正, $n

在微積分課程裡我們有學到如何利用 Lagrange multiplier 來解 constraint optimization 問題. 這邊要介紹課本裡沒教的 Lagrangian function. Goal: 我們想要解以下這個問題 $$ \min_{x} f(x), \quad \text{subject to } \quad g(x)=0. $$ Observation 微積分課本告訴我們

這裡我們再多討論一點 Lagrangian function. 我們先看最簡單的一維問題, 求一個有限制式的函數最小值問題: $$ \min_{x} f(x), \quad \text{subject to } \quad g(x)=0. $$ 我們引進 Lagrangian function $$ L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x) $$ 並且知道

這裡我們討論一下 Lagrange multiplier. 我們知道, 如果想要解以下這個有限制式的最佳化問題 $$ \min_{x} f(x), \quad \text{subject to } \quad g(x)=k, $$ 一個方式是引進 Lagrange multiplier, $\lambda$, 然後可以列出以下兩個式子 $$ \partial_x f +

Applied Project in Sec.15.8, Calculus by Stewart Chinese version 滾動競賽 Suppose that a solid ball(a marble), a hollow ball (a squash ball), a solid cylinder (a steel bar), and a hollow cylinder (a lead pipe) roll down a slope. Which of these objects reaches the bottom first? To answer this question, we consider a ball or cylinder with mass $m$, radius $r$, and moment of inertia $I$

Applied Project in Sec.15.8, Calculus by Stewart 英文版請見 Roller Derby 假設有一實心圓球(如一顆彈珠)、一空心圓球 (如一顆壁球)、一實心圓柱(如一根鋼條)、與一空心圓柱(如一根鉛管)同

Discovery Project in Sec.5.2, Calculus by Stewart Chinese version 面積函數 Question 1(a): Draw the line $y = 2t+1$ and use geometry to find the area under this line, above the t-axis, and between the vertical lines $t=1$ and $t = 3$. Answer: let $f(x)=y=2t+1$, then $f(1)=3$ and $f(3)=7$. So, Area$= \frac{1}{2}(3+7)(3-1) = 10$ Question 1(b): If $x>1$, let $A(x)$ be the area of the region that lies

Discovery Project in Sec.5.2, Calculus by Stewart 英文版請見 Area functions Question 1(a): 畫出 $y = 2t+1$ 且用幾何方法找出在此線下方、$t$軸上方、與$t＝1$和$ｔ＝３$兩條垂直線所圍出的面積. Answer: 令 $f(x)=y=2t+1$, 則

前情提要: 數值積分初探 連續函數可以用多項式來逼近它, 因此直覺來講, 既然我們已經找到一個離給定函數"很近"的多項式了, 何不