Euler equations

這裡我們想要解 Euler equations, 長相如下: $$ \tag{1} x^2 y'' + a xy' + by = 0, $$ 其中 $a$, $b$ 為常數.

characteristic polynomial

假設 $y = x^r$, 代入 (1) 可以得到

$$ \left[r(r-1) + a r + b\right] x^r = 0. $$

假設 $x\ne 0$, 所以 $x^r\ne 0$, 因此上式可以簡化為

$$ \tag{2} r(r-1) + a r + b = 0. $$

(2) 這個方程就是 Euler equations 的特徵多項式. 理論上如果 (2) 的根是 $r_1$, 那 $y = x^{r_1}$ 就是方程式的解.

不過 Euler equations 是個二階線性常微分方程, 應該要有兩個線性獨立的解. 因此接下來我們就要討論在各種"根"的情況下 (1) 的通解長相為何.

A. 兩相異實根

假設 (2) 有兩個相異實根 $r = r_1$, $r_2$, 那(1) 的通解就可以被寫為

$$ \tag{3} y(x) = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_2}, $$ 其中 $c_1$, $c_2$ 為常數.

備註:

通常為了計算 $x^{r}$ 我們會使用以下恆等式

$$ x^r = e^{r\ln x}. $$ 這樣即使 $r$ 是無理數, 我們也可以輕易地計算 $x^r$.

B. 兩複數根

假設 (2) 有兩個複數根 $r = \lambda \pm i\mu$, 那理論上 $x^{\lambda \pm i\mu}$ 就是一個解. 不過我們要的是實數解, 因此需要稍微再處理一下.

首先我們有

$$ \begin{align} x^{\lambda + i\mu} &= e^{(\lambda + i\mu)\ln x} \\
&= e^{\lambda \ln x}\left[\cos(\mu\ln x) + i\sin(\mu\ln x)\right] \\
&= x^r\cos(\mu\ln x) + ix^r\sin(\mu\ln x). \end{align} $$

另外我們知道實部跟虛部都會是 (1) 的解. 因此, (1) 的通解就可以被寫為

$$ \tag{4} y(x) = c_1 x^{\lambda}\cos(\mu\ln x) + c_2 x^{\lambda}\sin(\mu\ln x), $$ 其中 $c_1$, $c_2$ 為常數.

C. 一重根

假設 (2) 有一個重根, 那特徵多項式一定是長這樣 $(r-r_1)^2$. 直接跟 (2) 做比較我們就會發現 $a = 1-2r_1$, $b=r^2_1$. 也就是說, Euler equation 會長得像這樣子

$$ \tag{5} x^2 y'' + (1 - 2r_1) xy' + r^2_1 y = 0. $$

接著我們來對這個式子做因式分解. 首先觀察, 由於 $y_1 = x^{r_1}$ 一定是個解, 因此我們來看一下這個解會滿足的方程式長怎樣. 直接微分得到

$$ \frac{d}{dx} y_1 = r_1 x^{r_1-1} = \frac{r_1}{x} x^{r_1} = \frac{r_1}{x} y_1. $$

也就是說 $y_1$ 會滿足以下這個一階常微分方程

$$ \tag{6} \left(x\frac{d}{dx} - r_1\right) y = 0. $$

接著我們觀察以下幾件事:

Observation 1

利用 (6) 以及 $r_1$ 是個重根, 就可以很快看出 (5) 可以被分解成

$$ \tag{7} \left(x\frac{d}{dx} - r_1\right)\left(x\frac{d}{dx} - r_1\right) y = 0. $$

Observation 2

假設我們能找到另一個函數 $y_2(x)$, 並且使得

$$ \tag{8} \left(x\frac{d}{dx} - r_1\right) y_2 = cy_1, $$ 其中 $c$ 是個常數. 那我們就可以得到

$$ \left(x\frac{d}{dx} - r_1\right)\left(x\frac{d}{dx} - r_1\right) y_2 = \left(x\frac{d}{dx} - r_1\right) cy_1 = 0. $$

Observation 3

根據 method of variation of parameters 的想法, 如果我們已經得到一個解 $x^{r_1}$, 那另一個解可以直接假設為 $y_2 = x^{r_1}u(x)$. 將這個假設代入 (8) 得到 $u$ 所要滿足的方程為

$$ \tag{9} xu' = cu. $$

這個方程的解為 $u(x) = c\ln(x)$. 因此, 我們得到 $y_2=x^{r_1}\ln(x)$.

最後, (1) 的通解就可以被寫為

$$ \tag{10} y(x) = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_1}\ln(x), $$ 其中 $c_1$, $c_2$ 為常數.