Trace, determinant 與 eigenvalue 的關係

方陣 A 的行列式等於其特徵值相乘

Determinant of A equals to the product of its eigenvalues

給定一個 $n\times n$ 的方陣 $A$, 我們定義一個變數為 $\lambda$ 的函數 $P(\lambda)$ 如下: $$ \tag{1} P(\lambda) = det(\lambda I-A). $$ 根據行列式的算法我們馬上知道 $P$ 其實就是個 $\lambda$ 的 $n$ 次多項式, 可以寫成 $$ \tag{2} P(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1}\cdots + c_1\lambda + c_0. $$ 因此這個多項式必有 $n$ 個根 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ (有可能是實根, 虛根, 或重根, 不過必有 $n$ 個), 所以我們可以將 $P$ 改寫為 $$ \tag{3} P(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)\cdots (\lambda - \lambda_n). $$

最後, 我們算一下 $P(0)$.

  • 由 (1) $$ \tag{4} P(0) = det(-A) = (-1)^n det(A). $$
  • 由 (3) $$ \tag{5} P(0) = (- \lambda_1)\cdots (- \lambda_n) = (-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n. $$

因此, 由 (4) 以及 (5), $$ det(A) = \lambda_1\cdots\lambda_n. $$


方陣 A 的 等於其特徵值相加

Trace of A equals to the sum of its eigenvalues

給定一個 $n\times n$ 的方陣 $A$: $$ \tag{6} A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}. $$

因此我們有 $$ \tag{7} \lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\
-a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{bmatrix}. $$

接著我們來算 $det(\lambda I - A)$. 我們直接沿著第一行使用降階法 ( cofactor expansion): $$ \tag{8} det(\lambda I - A) = (\lambda - a_{11})C_{11} +(- a_{21}) C_{21}+ \cdots, $$ 其中 $$ \tag{9} C_{11} = \begin{bmatrix} \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{bmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}, $$ 以及 $$ \tag{10} C_{21} = \begin{bmatrix} -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n}\\
-a_{32} & \lambda-a_{33} & \cdots & -a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{n2} & \cdots & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{bmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}. $$

簡單觀察可以發現 $C_{21}$ 是個最多 $n-2$ 次的多項式. 並且對所有 $k>1$ 的 $C_{k1}$, 他們全都是最多 $n-2$ 次的多項式. 因此我們就有 $$ \tag{11} det(\lambda I - A) = (\lambda - a_{11})C_{11} + \hat{Q}_{n-2}(\lambda), $$ 其中 $\hat{Q}_{n-2}(\lambda)$ 是個最多 $n-2$ 次的多項式.

接著我們對 $C_{11}$ 做展開, 並且用以上的論述一直做下去. 最終我們就會得到 $$ \tag{12} det(\lambda I - A) = (\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22})\cdots (\lambda - a_{nn}) + \tilde{Q}_{n-2}(\lambda), $$ 其中 $\tilde{Q}_{n-2}(\lambda)$ 是個最多 $n-2$ 次的多項式.

我們接著把 (12) 展開, 得到 $$ \tag{13} det(\lambda I - A) = \lambda^n - (a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn})\lambda^{n-1} + Q_{n-2}(\lambda), $$ 其中 $Q_{n-2}(\lambda)$ 是個最多 $n-2$ 次的多項式.

另一方面, 我們也可以同樣把 (3) 展開, 得到 $$ \tag{14} P(\lambda) = \lambda^n - (\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n)\lambda^{n-1} + \cdots. $$ 因此, 由 (13) 以及 (14), $$ a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n. $$


Avatar
Te-Sheng Lin (林得勝)
Professor

The focus of my research is concerned with the development of analytical and computational tools, and further to communicate with scientists from other disciplines to solve engineering problems in practice.