Trace, determinant 與 eigenvalue 的關係

方陣 A 的行列式等於其特徵值相乘

Determinant of A equals to the product of its eigenvalues

給定一個 $n\times n$ 的方陣 $A$, 我們定義一個變數為 $\lambda$ 的函數 $P(\lambda)$ 如下: $$ \tag{1} P(\lambda) = det(\lambda I-A). $$ 根據行列式的算法我們馬上知道 $P$ 其實就是個 $\lambda$ 的 $n$ 次多項式, 可以寫成 $$ \tag{2} P(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1}\cdots + c_1\lambda + c_0. $$ 因此這個多項式必有 $n$ 個根 $\lambda_1, \cdots, \lambda_n$ (有可能是實根, 虛根, 或重根, 不過必有 $n$ 個), 所以我們可以將 $P$ 改寫為 $$ \tag{3} P(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)\cdots (\lambda - \lambda_n). $$

最後, 我們算一下 $P(0)$.

• 由 (1) $$ \tag{4} P(0) = det(-A) = (-1)^n det(A). $$
• 由 (3) $$ \tag{5} P(0) = (- \lambda_1)\cdots (- \lambda_n) = (-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n. $$

因此, 由 (4) 以及 (5), $$ det(A) = \lambda_1\cdots\lambda_n. $$

方陣 A 的 跡等於其特徵值相加

Trace of A equals to the sum of its eigenvalues

給定一個 $n\times n$ 的方陣 $A$: $$ \tag{6} A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}. $$

因此我們有 $$ \tag{7} \lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\
-a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{bmatrix}. $$

接著我們來算 $det(\lambda I - A)$. 我們直接沿著第一行使用降階法 ( cofactor expansion): $$ \tag{8} det(\lambda I - A) = (\lambda - a_{11})C_{11} +(- a_{21}) C_{21}+ \cdots, $$ 其中 $$ \tag{9} C_{11} = \begin{bmatrix} \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{bmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}, $$ 以及 $$ \tag{10} C_{21} = \begin{bmatrix} -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n}\\
-a_{32} & \lambda-a_{33} & \cdots & -a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{n2} & \cdots & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{bmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}. $$

簡單觀察可以發現 $C_{21}$ 是個最多 $n-2$ 次的多項式. 並且對所有 $k>1$ 的 $C_{k1}$, 他們全都是最多 $n-2$ 次的多項式. 因此我們就有 $$ \tag{11} det(\lambda I - A) = (\lambda - a_{11})C_{11} + \hat{Q}_{n-2}(\lambda), $$ 其中 $\hat{Q}_{n-2}(\lambda)$ 是個最多 $n-2$ 次的多項式.

接著我們對 $C_{11}$ 做展開, 並且用以上的論述一直做下去. 最終我們就會得到 $$ \tag{12} det(\lambda I - A) = (\lambda - a_{11})(\lambda - a_{22})\cdots (\lambda - a_{nn}) + \tilde{Q}_{n-2}(\lambda), $$ 其中 $\tilde{Q}_{n-2}(\lambda)$ 是個最多 $n-2$ 次的多項式.

我們接著把 (12) 展開, 得到 $$ \tag{13} det(\lambda I - A) = \lambda^n - (a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn})\lambda^{n-1} + Q_{n-2}(\lambda), $$ 其中 $Q_{n-2}(\lambda)$ 是個最多 $n-2$ 次的多項式.

另一方面, 我們也可以同樣把 (3) 展開, 得到 $$ \tag{14} P(\lambda) = \lambda^n - (\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n)\lambda^{n-1} + \cdots. $$ 因此, 由 (13) 以及 (14), $$ a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n. $$