Sec.3.4 - 飛行員應該何時開始下降高度?

呂建霆, Te-Sheng Lin (林得勝)
Last updated on Jan 6, 2021 2 min read Calculus

Applied Project in Sec.3.4, Calculus by Stewart
英文版請見 Where should a pilot start descent?

上圖是一台飛行器的降落軌跡近似圖，它必須滿足以下條件：

  1. 巡航高度為$h$，而飛行器在與著陸地點(同時也是圖中的原點)水平距離為$l$時開始下降

  2. 在整個下降過程中，飛行員必須維持固定的水平速度$v$

  3. 鉛直加速度的絕對值不能超過某個常數$k$(和地心引力造成的加速度相比，$k$非常的小)

問題壹： 請透過加適當條件在「開始下降」和「著陸」這兩個時間點的$P(x)$和$P’(x)$上，來找到一個滿足條件(1.)的三次多項式 $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。

解：

$$ P(x) = −\frac{2h}{\ell^3}x^3 + \frac{3h}{\ell^2}x^2。 $$

問題貳： 用條件(2.)和(3.)來證明$\frac{6hv^2}{\ell^2}\le k$。

問題參： 假設某航空公司決定不讓飛機的鉛直加速度達到$k = 860(英里/小時^2)$。如果飛機的巡航高度是$35,000$(英尺)且速度是$300$(英里/小時)，飛行員該在距離機場多遠的地方開始下降？

解：

飛行員應該在距離機場$64.511$(英里)的地方開始下降。

問題肆： 請繪製近似圖(假設問題參當中的所有條件都被滿足)

解：

# Example code in julia
using Plots
v = 300;
h = 6.628;
l = 65;
N = 100;
dx = l/N;
x = 0.0:N; x = dx*x;
P = -(2*h/l^3)*x.^3 + (3*h/l^2)*x.^2;
plot(x, P, lw=3, xlabel = "x", ylabel = "y", title="approach path", legend=false)
derivative polynomial applied project

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