這裡我們要介紹 slant asymptotes, 也就是所謂的斜漸近線.

Section 1: slant asymptotes

斜漸近線定義如下:
The line $y=mx+b$, $m\ne 0$, is called a slant asymptote of $f(x)$ if $$ \lim_{x\to\infty} [f(x) - (mx+b)] = 0. $$

Remark: 亦可將上列式子中改為 $x\to-\infty$. 滿足此條件的也是斜漸近線. 所以斜漸近線最多有兩條.

Section 1.1: 長除法

要求得斜漸近線的方法其中之一是長除法. 例如以下這個函數 $$ f(x) = \frac{4x^3-10x^2-11x+1}{x^2-3x}. $$ 將這個函數的分子與分母做長除法發現 $$ 4x^3-10x^2-11x+1 = (4x+2)(x^2-3x) + (-5x+1), $$ 也就是說 $$ f(x) = (4x+2) + \frac{-5x+1}{x^2-3x}. $$ 這樣我們很明顯可以看出來 $$ \lim_{x\to\pm\infty} [f(x) - (4x+2)] = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{-5x+1}{x^2-3x} = 0. $$ 所以 $y=4x+2$ 就是這個函數的斜漸近線.

Section 1.2: 直接法

不過如果遇到無法做長除法的函數, 以上的招數就失效了. 例如 $$ g(x) = \sqrt{x^2-1}+3, $$ 就無法以長除法來找斜漸近線.

我們先觀察一下原本斜漸近線的定義, 然後很快就可以發現, 如果 $y=mx+b$ 是一條斜漸近線則我們有 $$ \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = m. $$ 所以透過以上這個式子我們可以找到斜漸近線中的第一個參數 $m$. 知道這個參數之後我們一樣再把原本定義改寫一下則有 $$ \lim_{x\to\infty} [f(x) - mx] = b. $$ 利用這個式子就可以找到斜漸近線中的第二個參數 $b$.

我們以上面的 $g(x)$ 函數為例來找一下它的斜漸近線.

1. 首先第一步我們先看一下 $g(x)$ 在正負無窮遠的行為: $$ \lim_{x\to\infty} g(x) = \infty, \quad \lim_{x\to-\infty} g(x) = \infty. $$ 發現它會趨近無窮大, 所以有機會有斜漸近線.

   Remark:

   • 如果趨近一個常數那就會得到橫漸近線 (horizontal asymptotes), 那就沒有斜漸近線.
   • 如果極限不是正負無窮大其中之一, 那也不可能會有斜漸近線.
   • 以上都是在講單邊 ($x\to\infty$, 或是 $x\to -\infty$), 有可能兩邊行為完全不一樣.

2. 接著我們試著求出 $m$: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}+3}{x} = 1. $$ 所以 $m=1$. 接著我們求解 $b$: $$ \lim_{x\to\infty} [g(x) - mx] = \lim_{x\to\infty} \left[\sqrt{x^2-1}+3 - x\right] = 3. $$ 所以 $b=3$.

   Remark:

   • 同樣做法可以得到 $x\to -\infty$ 時我們有 $m=-1$, $b=3$.

3. 因此我們得到 $g(x)$ 在正無窮遠處的斜漸近線為 $y=x+3$, 在負無窮遠處的斜漸近線為 $y=-x+3$.

Section 1.3: Summary

總結一下:

• 斜漸近線可以用長除法或直接法求得.

不過不管長除法或直接法都是求出斜漸近線的計算過程. 實際上不管用哪種方法做, 長除法, 直接法, 或是當你很有經驗時可以一眼看出來, 要證明你所得到的直線是斜漸近線就是要驗證最初的定義是否正確. 也就是要驗證以下這個式子是對的: $$ \lim_{x\to\infty} [f(x) - (mx+b)] = 0. $$ 如果是對的, 你就得到它了.

Section 1.4: Final remark

在直接法理需要注意一下的是以下這個極限 $$ \lim_{x\to\infty} [f(x) - mx]. $$ 這個極限一定要存在. 不然就沒有斜漸近線.

有一個有名的錯誤敘述:

• (這是錯的) 若 $$ \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = m, $$ 則 $f(x)$ 在 $x\to\infty$ 有一條斜漸近線.

一個簡單的反例是 $f(x)=x+\ln(x)$. 則 $$ \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{x + \ln(x)}{x} = 1. $$ 繼續找常數 $b$ 可以發現 $$ \lim_{x\to\infty} f(x)-x = \infty. $$ 所以沒有斜漸近線.