不定積分的悖論?
這幾天有個朋友問我一個關於不定積分的問題, 看起來很詭異. 我們一起來看看.
我們以分部積分(integration by part)來求
首先我們知道
所以問題是, 這中間究竟哪裏有問題?
不定積分 (indefinite integral) 以及反導函數 (antiderivative function) 是在講同一個東西. 可見 wiki.
我們最熟悉的數學符號, ‘等號’, ‘
’, 其實在不同的情況下有不同的定義. 雖然都是要表達相等的意思, 不過究竟是怎樣的相等還是有一些小細節需要注意的.
在不定積分中的等號究竟是什麼意思? 我們都知道
我們都知道
再說清楚一點, 當我們寫
所以回到原文最後一個式子, 我把它在這裡重列一次
所以最後一個問題是, 我們可以把東西減掉嗎? 舉例來說,
BUT, 事實上這樣寫是錯的. 再小心一點做的話你會發現兩式相減我們應該是得到