不定積分的悖論？

這幾天有個朋友問我一個關於不定積分的問題, 看起來很詭異. 我們一起來看看.

我們以分部積分(integration by part)來求 $\tan$ 的不定積分 $\int \tan(x)\ dx$.

首先我們知道 $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, 接著我們來做分部積分, 假設 $$ u = \frac{1}{\cos(x)}, \quad dv = \sin(x)dx. $$ 因此我們知道 $$ du = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}dx, \quad v = -\cos(x). $$ 根據分部積分公式我們得到 $$ \int \tan(x)\ dx = \frac{1}{\cos(x)}\left(-\cos(x)\right) - \int (-\cos(x))\frac{\sin(x)}{\cos^2(x)}dx = -1 + \int\tan(x)\ dx. $$ 等號最左邊跟最右邊都有 $\int\tan(x)\ dx$, 同時減掉我們就得到 $0 = -1$. 太神奇了!!

所以問題是, 這中間究竟哪裏有問題？

不定積分 (indefinite integral) 以及反導函數 (antiderivative function) 是在講同一個東西. 可見 wiki.

我們最熟悉的數學符號, ‘等號’, ‘$=$’, 其實在不同的情況下有不同的定義. 雖然都是要表達相等的意思, 不過究竟是怎樣的相等還是有一些小細節需要注意的.

在不定積分中的等號究竟是什麼意思? 我們都知道 $\cos$ 的反導函數是 $\sin$, 寫成不定積分就是

$$ \int\cos(x)\ dx = \sin(x)+c, $$ 其中 $c$ 是任意常數. 那上列這個式子的等號是什麼意思?

我們都知道 $\sin(x)$ 加上任意常數, 其微分都會是 $\cos(x)$, 所以我們才有這個式子. 也就是說, 上面這個等號就是這個意思!!

再說清楚一點, 當我們寫 $\int f(x)\ dx = F(x)$ 時意思就是 $F'(x) = f(x)$.

所以回到原文最後一個式子, 我把它在這裡重列一次 $$ \int \tan(x)\ dx = -1 + \int\tan(x)\ dx. $$ 如果我們把 $\tan$ 的反導函數稱為 $F$, 也就是 $\int\tan(x)\ dx = F(x)$. 那這個式子可以改寫成 $$ \int \tan(x)\ dx = -1 + F(x). $$ 我們知道這個式子也是對的因為 $(F(x)-1)' = \tan(x)$. 所以從這個角度來說, 這整個式子就都沒有問題了.

所以最後一個問題是, 我們可以把東西減掉嗎? 舉例來說, $$ \begin{aligned} \int\cos(x)\ dx &= \sin(x)+1, \\\
\int\cos(x)\ dx &= \sin(x). \end{aligned} $$ 兩式一減我們就得到 $0=1$ 了!!

BUT, 事實上這樣寫是錯的. 再小心一點做的話你會發現兩式相減我們應該是得到 $$ \int 0\ dx = 1. $$ 從這裡來看的話, $1$ 的微分是 $0$, 那就完全沒有問題了.