2025 Summer Research Internship

2025 暑期研究實習

• 研究實習辦法
  1. 實習期間, 時間, 地點
     • 六週, 具體時間各自與指導教授訂定
  2. 說明會
     • 訂於 4/16 (週三) 12:00-13:00
  3. 報名
     • 報名資格: 大學部就學中
     • 報名截止: 5/9
     • 報名方式: 與指導教授面談後填寫表單 - 報名表單 (報名表單將於說明會後開啟回覆)
  4. 經錄取, 在符合以下條件的情況下將補助最高一萬六千元整
     • 於實習期間協助團隊指導教授進行相關研究
     • 研究成果海報展
       • 每位參與實習的學生皆需參加研究成果展, 具體日期再另行通知.

各研究團隊主題

1. 凸幾何學的理論與應用
   • Advisors (共同指導): 黃信元與神秘嘉賓 - hyhuang@math.nctu.edu.tw,

     凸幾何學(Convex Geometry)在機器學習和最佳化理論中佔有很重要的角色。這個暑假裡我們想要學習有關歐式空間中凸幾何學的幾個重要定理，並藉由電腦繪圖將定理視覺化呈現。首先我們會學習凸集合和凸函數的基本性質，接著寫一些程式讓電腦自行判斷給定的集合是否是一個凸體。後續也將學習Brunn-Minkowski Theorem、Steiner formula、及Isoperimetric Inequality。

     參考書目：Lectures on Convex Geometry by Daniel Hug and Wolfgang Weil, Springer, GTM Vol 286, 2020.

2. 神經網路函數的逼近理論
   • Advisor: 薛名成 - mcshiue@nycu.edu.tw

     主要研究神經網路函數可以學習怎樣函數，如光滑函數，例如多項式等，更近一步，不光滑函數，如不連續函數等。

3. 光流影像於影像辨識與物件追蹤的應用
   • Advisor: 吳金典 - ctw@math.nctu.edu.tw

     光流影像（optical flow) 在影像處理與基於影像的運動估計有廣大的應用，本專題在利用廣義的光流影像，進行複雜環境中的小物件辨識與追蹤.

4. Application of Random Walk
   • Advisor: 千野由喜 - y.chino@math.nctu.edu.tw

     We consider some applications of random walk. We focus on the connection to Brownian motion and a certain partial differential equation through several limit theorems in the random walk theory.

5. 碎形 fractal
   • Advisor: 方向 - xfang@nycu.edu.tw

     碎形（Fractal）目前沒有嚴格數學定義。一般而言是指的是那些具有自相似性質的物體或圖形。這些物體不僅在自然界中隨處可見，如山脈、雲彩和海岸線等，也在數學和藝術中具有重要的地位。

     將碎形推向現代數學的突破性發展是由數學家曼德勃羅特（Benoît B. Mandelbrot）在1970年代提出的。目前，碎形的研究涵蓋了幾何學、動力系統、圖形學等領域，並已廣泛應用於電腦圖形、數據壓縮、自然現象模擬等方面。

     碎形研究方法通常涉及分形維數的計算和分形集的建立。在現代研究方法方面，核心工具之一為Hausdorff維度，或分數階維度。此外，碎形與動力學系統, 解析函數（複變）和數論的結合成為一些活躍的研究領域。

6. 算子的數值域理論
   • Advisor: 王國仲 - kzwang@math.nctu.edu.tw

     在這個暑期計畫中，為期7至8周的學習將專注於算子數值域的重要性質，並深入探討算子數值域的幾何結構。同學們將學習如何利用算子的性質來分析數值域的幾何結構，並通過相關定理來加深對這些概念的理解。具體的學習內容包括以下幾個核心定理：Toeplitz-Hausdorff、Ando、Anderson定理和冪不等式。此外，同學們還將學習二階、三階矩陣、或是一些特殊算子的數值域。

     先備知識: 線性代數、分析導論。參考書: Pei Yuan Wu and Hwa-Long Gau, Numerical ranges of Hilbert space operators, Cambridge University Press, Cambridge, 2021.